Raiz Quadrada - Entendendo como funciona e como descobrir.

Na matemática, a raiz quadrada de um número x é um número único e não negativo que, quando multiplicado por si próprio, se iguala a x.

Todo número real não negativo possui uma única raiz quadrada não negativa, chamada de raiz quadrada principal, a qual é denotada pelo símbolo ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}.}$ 

Por exemplo, 3 é a raiz quadrada de 9, ou seja, ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {9}}=3}$, porque ${\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9,}$ e 3 é não negativo.

As raízes quadradas são importantes para a resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos.

O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (em latim, raiz). Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de reta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raiz quadrada do inicial.

Somente os números considerados quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata, como por exemplo, o número 64 possui raiz quadrada igual a 8, pois 8² = 64. Então, dizemos que ele é um número quadrado perfeito. Observe outros algarismos considerados quadrados perfeitos: 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,... 

Quanto aos números que não são quadrados perfeitos, o cálculo da raiz quadrada é realizado utilizando resultados aproximados. Por exemplo, vamos verificar a raiz quadrada aproximada do número 12. 

De acordo com a reta numérica, a √12 está localizada entre a raiz quadrada dos seguintes números quadrados perfeitos: 9 e 16. Dessa forma, temos que: √9 = 3 e √16 = 4. Portanto, a √12 possui como resultado, um número decimal entre 3 e 4. 

Aproximação por falta utilizando duas casas decimais. 

3,46 * 3,46 = 11,97 

Aproximação por excesso utilizando duas casas decimais. 

3,47 * 3,47 = 12,04 

Temos que a √12 possui como resultado aproximado, as seguintes opções: 3,46 ou 3,47. 

Exemplo 2 

A √45 está localizada entre os seguintes números quadrados perfeitos: 36 e 49. Observe: 

√36 = 6 

√49 = 7 

A √45 pertence ao intervalo entre os números: 6 e 7. 

Realizando a aproximação do resultado com duas casas decimais: 

Aproximação por falta 

6,70 * 6,70 = 44,89 

Aproximação por excesso 

6,71 * 6,71 = 45,02 

Temos que a √45 possui como resultado aproximado, as seguintes opções: 6,70 ou 6,71.

Todas ás informações foram retiradas dos sites: Wikipédia e Mundo Educação

E resumidas por mim.